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双人游戏的必胜招

该篇复习于2011年. 今天看到如月中天提到"胜也罢,败也罢,就是不要同他讲和!", 不知怎么, 突然想起这个双人游戏是可能有必胜招的, 还有一个华丽的证明, 然后自己又不记得了. 赶紧搜索了一下, 发现以前记录过.


zermelo's theorem 实在太帅了。看了耶鲁公开课博弈论第15集,终于揭开了从大一开始困扰我的谜题。大一的时候舒幼生教授一次很淡定的说,一个双人棋类游戏,如果没有平局,那么一定有必胜招。当时我就很迷惑,但他没给出证明。过了13年,我终于见到了证明。实在激动,记录一下。

zermelo's theorem

这个定律的全名叫做zermelo's theorem。具体描述是:

在一个双人游戏中,满足:

  • 双人轮流行动
  • 有限步。比如国际象棋好像重复出现六次相同的棋局判和
  • 信息完备。所谓信息完备,大概是玩家明确知道所有之前的步骤。
  • 仅有3种结局,对于玩家1只有:赢,和,输三种结局

当满足上述条件的游戏,只会出现下面情况之一:

  • 玩家1有必胜招。就是玩家1按照某种特定的走法,不论玩家2如何努力,玩家1都可以赢
  • 玩家1有必和招。
  • 玩家2有必胜招。当然,有些游戏是有后手优势的,先走的人倒霉。

这个定律的证明相当华丽,建议每一个理科geek前去欣赏,可自行google "公开课 博弈论 15"查看视频.

证明

在此简单记叙一下,权作笔记。

N是某一游戏的最大步长,比如我们下棋,玩很多很多次,其中最多回合的一次,是大战300回合后我赢了,那么N=600。

数学归纳法第一步:

N=1时,zermelo's theorem显然成立。

玩家1,只用走一步,就可决定输赢。按照游戏的规定,也许有胜负和三种,那么玩家1显然选择胜的走法,于是满足玩家1有必胜招

数学归纳法第二步:

假设i<=N时命题成立

数学归纳法第三步:

试图证明i=N+1时命题成立

考虑N+1时的子游戏,除去玩家1走的第一步以后的游戏部分。玩家1第一步的每一种走法都会产生一个新游戏起始状态,它的最大步长<=N的,从数学归纳法第二步可知,每个子游戏有唯一确定的结果,玩家1必然会赢、输或者和。于是等价于N=1的情况了!相当于玩家1在第一步的时候来选择进入哪个游戏,是自己必赢还是必输还是必和。

这个证明的华丽之处在于,我在想N+1的时候,默认的想法是在游戏树后面再加一层,于是很多年都想不出来,而这个证明是在游戏树前面加上了一个树根。在看到这个证明之前,我根本就没有意识到自己有这样的思维定势。