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通项公式快速求解

现在每天早上早起, 先做一道无忧公主的数学时间里面的数学题, 提神醒脑.

今天的题目是这样的:

f(1)=f(2)=1

f(n)=f(n-1)-f(n-2)+n

求f(2018)

解法大概是找规律什么的吧, 中间会出现f(n-1)=f(n-2)的情况, 然后有一定的循环.

但是, 怎么能这么轻易使用自己手算呢? 一定要暴力编程解决才好.

随手写个递归:

In [1]:
def f(n):
    if n<=2:
        return 1
    else:
        return f(n-1)-f(n-2)+n
N=10
for i in range(1,N+1):
    print(i, f(i))
1 1
2 1
3 3
4 6
5 8
6 8
7 7
8 7
9 9
10 12

但没有使用尾递归的话, 计算f(2018)肯定是要死机的. 然后, 我忘记怎么写尾递归了

第二招, 母函数

要用上母函数, 里面不能有个n这样的变量. 应该消掉. 所以把f(n-1)=f(n-2)-f(n-3)+n-1代入,

f(n)=f(n-2)-f(n-3)+n-1 -f(n-2)+n
f(n)=-f(n-3)+2n-1

再消掉n, 得到: $$ f(n)=2 f(n-1)-2 f(n-2)+f(n-3)+1 $$

然后, 我忘记母函数如何展开了, 要用泰勒展开之类的.

还有第三招, 矩阵乘法

把f(n)写成一个矩阵M去乘与f(n-1)向量的形式, 然后最终就成了计算M的n次方. 当然, 我又不记得矩阵乘方的运算了, 似乎是进行特征分解. 不过呢, 反正numpy在算矩阵乘法的时候是经过优化的, 速度很快.

目的是写出一个简单的矩阵M, 满足下面的式子

$$ \begin{bmatrix} f(n) \\f(n-1) \\f(n-2) \\n+1 \\1 \end{bmatrix}= M \begin{bmatrix} f(n-1) \\f(n-2) \\f(n-3) \\n \\1 \end{bmatrix} $$

根据条件, 很好写: $$ \begin{bmatrix} f(n) \\f(n-1) \\f(n-2) \\n+1 \\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1,-1,0, 1,0 \\1,0, 0,0,0 \\0,1, 0,0,0 \\0,0,0,1,1 \\0,0,0,0,1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(n-1) \\f(n-2) \\f(n-3) \\n \\1 \end{bmatrix} $$

所以程序就很容易写出来了:

In [2]:
import numpy as np
from numpy.linalg import matrix_power
def f_matrix(n):
    M=np.asarray([
        [1,-1,0,1,0],
        [1,0,0,0,0],
        [0,1,0,0,0],
        [0,0,0,1,1],
        [0,0,0,0,1]
    ])
    f3=np.asarray([f(3),f(2),f(1),4,1])
    if n>3:
        fn=np.matmul(matrix_power(M, n-3), f3)
        return fn[0]
    else:
        return f(n)
In [5]:
%%timeit 
f_matrix(2018)
66 µs ± 859 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
In [6]:
print(f_matrix(2018))
2017

以上方法适用于类似我这样知识点只记得住开头的水平, 即使没有能够记住完整的部分, 也可以利用矩阵乘法在程序内置计算够快的feature来求解. 万一以后做什么面试题, 也许会用上吧