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面向眼科医生的λ演算入门教程(7)

二生三

也许是我见得少,物理学的公式里为什么都是连续函数,一个分段函数都没有,即使是分成一份一份的量子力学,也没有一个公式是分情况讨论的。甚至,量子力学的出现就是为了解决黑体辐射中出现的分段函数。

全都是连续函数的,这很奇异啊。

但只要出了理论物理,立刻就是大量的分段讨论了。记得大一学有机化学,老师先用10分钟讲了一个什么规则(貌似是Zaitsev's rule),然后整堂课剩下的时间都在讲这个规则的各种反例。

在纯物理之外的世界,我们需要三叉分支结构,一支接收条件判断,一支指向真值时的操作,一支指向假值时的操作: if True/False then This else That

什么是真,什么是假,哲学家也许一直都在试图定义。但对逻辑学或者数学来说,真假只是一次选择,if True then This, if False then That.

所以,

true=λx.λy.x
false=λx.λy.y

true和false都是接收两个参数,true返回前一个,false返回后一个。细看的话,你会发现false和0的定义是一样的。

看我在第一课Hello World里面已经展示了,能在Hello World里面塞进这么多伏笔,真是佩服自己。

有true/false的定义,也还要有各种逻辑运算才行。

and=λp.λq.(p q p)
not=λp.(p false true)

看not的结构,λp.(p...)的模式以前出现过,就是把输入调用到前面来。

not true=true false true

true的作用是把输入的两个参数前面那个挑出来,把第一个true当作函数,把后面的false true当作两个输入参数,挑出前面那个,就是false,于是not true=false。精巧。

有了not和and,就有NAND gate与非门了。其他各种逻辑运算也都是可以实现的。

貌似true this that和false this that就已经可以达到if语句要求了。但是如何在不知道条件是true还是false的时候把条件加入到this that前面呢?

其实也跟not类似,用上λp.(p...)的结构

if=λp.λa.λb.(p a b)

这不就是pair么。

所以,二生三。