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面向眼科医生的λ演算入门教程(1)

与计算机语言有关,当然要写Hello World!

Hello World

Lambda calculus的运算只做一件事情,就是字符替换,很类似于word里面用ctrl+H做查找与替换。我们来实际演示一下,请打开这个页面http://www.cburch.com/lambda/ (最好使用Chrome浏览器,Safari貌似有一点点小问题)

这是一个Lambda Calculator解释器(lambda calculus interpreter,LCI),如果搜索online lambda calculus interpreter能够找到很多类似的。

学习所有的计算机语言,大家都会写个HelloWorld!我们也可以用这个LCI写下第一个Lambda 表达式:

(λx.x) HelloWorld

不过,要输入λ比较麻烦,所以在这个解释器中,使用左斜杠"\"来表示λ

解释一下这句话都含义:

λx. 有三个字符构成,λ、x和点. ,注意别忘了那个点.

  • λ这个表示要定义一个函数,但是这个函数没有名字,叫做匿名函数,(突然想起未名湖难道是数学系起的名字?)。
  • x是一个ID,表示这个函数的变量是x。
  • 点. 表示这个点的右侧要定义函数的具体内容了。

λx.x 这就是一个lambda表达式(expression)了说的是,有个匿名函数,自变量是x,函数的定义就是返回x本身。类似于写下了 f(x)=x

(λx.x) HelloWorld 说的是,要把HelloWorld这个字符串作为参数,替换掉函数体内的自变量,也就是把x替换成HelloWorld。

相当于已知f(x)=x, 求x=HelloWorld时,f(x)

所以就显示出HelloWorld了。

怎么样?

相!当!无!聊!吧!

其实所有的Hello World都是这么无聊的。


那么我们来个复杂的:

(λx.λy.x) Hello World

当你照此输入以后居然显示了奇怪的事情。容我解释。

lambda expression(λ表达式)是可以嵌套的

λx. 说的是要定义一个函数啦,函数的自变量是x,在函数的定义里是

λy.x 也就是说作为函数的定义,又是一个函数,它的自变量是y,它的函数定义是什么呢?就是返回一个x。注意这里函数体里面并没有自变量y,而是一个与y无关的ID,里面这一层的x叫做自由变量free variables。free variables是由上一层的函数给出的,不受这一层函数自变量y的约束。

Hello World我在中间加入里空格,这样在lambda expression里面的含义相当于((λx.λy.x) Hello) World

也就是先把Hello代入到λx.λy.x里面,替换函数定义λy.x中自变量x,

于是

(λx.λy.x) Hello World

⇒ (λy.Hello) World

接着,把World代入到λy.Hello里,替换函数定义Hello中所有的y,

咦,这里没有y,总是返回Hello,那好吧,不管代入的是什么,都返回Hello,于是

(λy.Hello) World

⇒ Hello

λx.λy.x起到了一个选择器件的作用,给它两个参数,它就会选择出第一个。

我们再试试

(λx.λy.y) Hello World

首先,我们把Hello当成x,替换掉λx.λy.y中函数体λy.y里面所有的x。哦,没x,于是扔掉Hello,变成了

(λx.λy.y) Hello World

⇒ (λy.y) World

接着,我们把World当成y代入到λy.y的函数体y里面,替换掉所有的y,于是

(λy.y) World

⇒ World

λx.λy.y起到了另一个选择器件的作用,给它两个参数,它就会选择出第二个。