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人工晶体度数计算公式推导(1)

按照Thomas Olsen的综述: Calculation of intraocular lens power: a review 进行推导, Thomas Olsen就是Olsen公式的作者, 算是很新的公式了. 这是他在2007年发的一篇综述.

讲人工晶体度数计算的文章, 大概一开始都要八卦一下第一枚人工晶体植入的故事, Ridley爵士在1949年进行了第一枚人工晶体植入, 但是度数算错了, -20D! Ridley用了Gullstrand模型眼的曲率参数, 但忘了PMMA的高折射率. (Sir Harold Ridley and his Fight for Sight )

基础光学

四则运算、不超过初中数学, 不必紧张

屈光度

$$ F=\frac{n_2-n_1}{r} \tag 1 $$

一个界面的屈光度F, 定义如上单位为D, 也是$M^{-1}$, 单位要千万小心, 如果一直都是字母没什么关系, 但如果代入具体的数字时, 要小心区分毫米、米. 其中:

  • $n_1$ 是光线入射到界面之前, 介质的折射率.
  • $n_2$ 是光线从界面出射之后, 介质的折射率.
  • r 是界面的曲率半径. 如果是向入射光方向凸起的, r的符号为正, 否则为负.

聚散度

$$ V=\frac{n}{d} \tag 2 $$
  • V: 光线的聚散度
  • d: 从当前面到聚焦点的距离, 注意也是有正负的.
  • n: 介质的折射率

如果聚散度为$V_1$的光线, 经过屈光度为F的透镜面, 出射光的聚散度$V_2$为 $$ V_2=V_1+F \tag 3 $$

补充:

对于平行光, 聚焦于无穷远点, 也就是d=∞, 那么V=0

如果聚散度为$V_0=\frac{n}{d}$的光, 在原来的介质中, 前进了$d_0$距离, 那么还剩$d-d_0$的距离就聚焦了, 所以这时候的聚散度$V=\frac{n}{d-d_0}$, 如果已知$V_0, n$, 那么: $$ d=\frac{n}{V_0} \tag {3.1} $$

将公式(3.1)代入 $$ V=\frac{n}{d-d_0} \tag {3.2} $$

得到: $$ V =\frac{n}{\frac{n}{V_0}-d_0} $$

上下同时除以n化简, 得到 $$ V =\frac{1}{\frac{1}{V_0}-\frac{d_0}{n}} \tag {3.3} $$

作为“薄透镜”的人工晶体

如果平行光通过曲率为K的角膜, 眼轴长为Ax, 有效晶体位置为d, 眼内介质的折射率为n, 那么要达成正视眼, IOL的度数应当是多少?

原文中的推导太快, 我稍微慢一点推:

平行光的屈光度=0, 经过曲率为K的角膜, 按照公式(3), $$ V_{离开角膜}=0+K=K \tag {4.1} $$

光线经过距离d, 到达人工晶体的位置, 这是的聚散度$V_1$的计算, 和刚才补充公式(3.3)的过程一致, 将公式(4.1)代入到公式(3.3)中, 得到:

$$ V_{进入人工晶体}=\frac{1}{\frac{1}{V_{离开角膜}}-\frac{d}{n_{房水}}} $$$$ V_{进入人工晶体}=\frac{1}{\frac{1}{K}-\frac{d}{n_{房水}}} \tag 4 $$

此处假设人工晶体的厚度忽略不计, 那么从人工晶体出来, 只要再走(眼轴长Ax - 人工晶体位置d)的距离就到达了视网膜. 为了能够聚焦到视网膜上, 离开人工晶体的光线, 聚散度应当满足如下公式:

$$ V_{离开人工晶体}=\frac{n_{玻璃体}}{Ax-d} \tag 5 $$

根据公式(3), 进入人工晶体和离开人工晶体的屈光度变化, 应当由人工晶体的度数$P_0$提供: $$ V_{离开人工晶体}=V_{进入人工晶体}+P_0 \tag 3 $$

将公式(4)和(5)代入:

$$ \frac{n_{玻璃体}}{Ax-d}=\frac{1}{\frac{1}{K}-\frac{d}{n_{房水}}}+P_0 $$$$ P_0=\frac{n_{玻璃体}}{Ax-d} - \frac{1}{\frac{1}{K}-\frac{d}{n_{房水}}} \tag 6 $$

这就是最简单的薄透镜公式. 里面$n_{玻璃体}, n_{房水}$ 是常数, Ax, K是可以测量到的, d在手术前其实是不知道的, 但可以通过各种方式来预测.

要在薄透镜公式进化,

  • 将角膜和晶体作为有一定厚度的透镜, 前后表面还有着不同的曲率半径.
  • 不仅仅考虑近轴光线, 还要考虑上周边光线造成的像差.

未完待续