如何写一个球面Ray tracing程序(1)

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直线与平面的交点

在Ray tracing的时候，如果光线最终打到一个平面屏幕上，就需要知道每个光线的落点。直线和平面的交点求解比较简单，先用来练手热身。

直线的表示

一条直线上任意一点P可以用直线上已知一点PLine，和直线方向的向量NLine来表示，写出参数方程就是，注意啊，这里的PLine,NLine都是矢量，但t是标量, 有如下(1)式 $$ P_{(t)}= P_{Line}+t \times N_{Line} $$

平面的表示

一个平面，可以用平面上已知一点PPlane，和垂直于这个平面的法向量NPlane来表示。

用参数方程求交点

假设现在直线与平面交点是P点，那么可以画一个从平面上已知点PPlane到P点的向量，比如叫V=P-PPlane

代入上面（1）式 得到(2)式 $$ V=P_t-P_{Plane} \\ V=(P_{Line}+t \times N_{Line}) -P_{Plane} $$

显然V矢量是在平面内的，那么“垂直于这个平面的法向量NPlane”当然也垂直于V矢量，NPlane⊥V，这件事情在数学上有明确的表示，就是NPlane矢量和V矢量的dot product是等于0的。 $$ dot(V,N_{Plane})=0 $$

把V替换成(2)式

$$ dot(P_{Line}+t \times N_{Line}-P_{Plane}, N_{Plane})=0 $$

dot product是满足分配律的，于是有 $$ dot(P_{Line}-P_{Plane}, N_{Plane}) + dot( t \times N_{Line}, N{Plane})=0 $$

其中t是标量，可以提取到dot product外面来 $$ dot(P_{Line}-P_{Plane}, N_{Plane}) + t \times dot( N_{Line}, N{Plane})==0 $$ 化简一下：

$$ t= - \frac{dot(P_{Line}-P_{Plane}, N_{Plane})}{dot( N_{Line}, N{Plane})} $$

里面再调换一下位置，把难看的负号去掉。铛铛：

$$ t=\frac{dot(P_{Plane}-P_{Line}, N_{Plane})}{dot( N_{Line}, N{Plane})} $$

这就是程序里算出t的方法了。有t的值，只要代入(1)式就可以求出交点P了。

In [26]:
import numpy as np
def lineCrossPlane(PLine, NLine,PPlane,NPlane):
    '''
    直线以起点PLine和方向向量NLine表示
    平面以平面上一点PPlane和法向量NPlane表示
    求其交点P
    直线有多组，平面仅一个
    '''
    tup=np.dot((PPlane-PLine),NPlane)
    tdown=np.dot(NLine,NPlane)
    t=tup/tdown
    t=np.expand_dims(t,axis=1) # 为了满足与t与NLine的乘法, 需要将t扩展一维
    P=PLine+t*NLine
    return P
In [27]:
# 测试结果: 
if __name__=="__main__":
    pline=np.array([[0,0,0],[0,1,2]])
    nline=np.array([[1,0,0],[1,0,0]])
    pplane=np.array([5,0,0])
    nplane=np.array([1,0,0])
    print(lineCrossPlane(pline,nline,pplane,nplane))

[[ 5.  0.  0.]
 [ 5.  1.  2.]]
In [ ]: